BLOQUES 4 Y 5 MATEMATICAS II

Bloque IV: Reconoces las propiedades de los polígonos

El Bloque IV aplicarás los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de problemas

 

Bloque V: Reconoces las propiedades de la circunferencia

El Bloque V emplearás las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como: radio, diámetro, cuerda, arco, secantes y tangentes en la resolución de problemas. Así mismo resolverás ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia

Polígonos y su clasificacion

Figura geométrica formada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.

Estos se dividen en regulares e irregulares pero se pueden clasificar por sus lados o por sus ángulos.

Por sus lados:

Por sus ángulos: 

Ángulos en los polígonos teoremas, problemas y ejercicios

Algunas teoremas de los ángulos de los polígonos son:

1º Teorema: Para calcular la suma de los ángulos interiores  de un polígono regular como irregular al numero de lados se le resta 2 y se multiplica por 180º.

teniendo como resultando en este octágono 1080º  que seria la suma de sus ángulos.

2º Teorema   Para calcular la suma de los ángulos externos solo se divide 360º entre el numero de lados del polígono. Ejemplo. 360º / 8 = 45

3º Teorema: Para conocer el numero de diagonales de un polígono se sigue la siguiente formula: n ( n - 3) / 2. Ejemplo 8 ( 8 - 3) / 2 = 20 siendo ese su numero de diagonales 

Algunos ejercicios que podrías ocupar son.

   Nº DE LADOS                             SUSTITUCIÓN                             Nº DE DIAGONALES

DEL POLÍGONO                         DE LA FORMULA

            

         34

         26

         14

         16

         18

         35

         41

Abajo te dejo los resultados :

                     Nº DE LADOS                                     Nº DE DIAGONALES
                   DEL POLÍGONO                        
          

                           34                                                                   527
                           26                                                                   299
                           14                                                                    77    
                           16                                                                   104    
                           18                                                                   135    
                           35                                                                   560
                           41                                                                    779              

Lugares geométricos relacionados con la circunferencia

Elipse

La elipse es una linea curva, cerrada y plana cuya definición es: 

"La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante."

Parábola

 "Es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz."

Hipérbola

"Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva."

Teorema de ángulos dentro y fuera de la circunferencia y ejercicios de los mismos

Como primer angulo tenemos el angulo central que es aquel que el vértice donde se unen es el centro del circulo como su nombre lo dice. Por lo tanto se demuestra lo siguiente:

Angulo inscrito. El cual esta conformado por dos cuerdas, donde el angulo D es dos veces mas grande que el angulo C.

Angulo semi - inscrito.  Es aquel que esta formado por una cuerda y una tangente la cual pasa por un punto de la circunferencia, donde el angulo del punto A sera igual al arco AB entre de dos.

Angulo exterior.  Esta conformada por dos secantes, las cuales se unen en un punto fuera de la circunferencia, teniendo como ejemplo la imagen el punto  O sera igual al arco CD - AB entre de dos.

Angulo interior. Este esta conformado por dos rectas que se unen en un punto dentro de la circunferencia donde el punto O es igual al arco AB mas el arco CD entre de dos.

Algunos ejercicios que te podrías encontrar son:

Una vez resueltos ahi te dejo los resultados.

Teoremas de medias proporcionales

“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (derecha):

donde

DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

Por semejanza (~) de triángulos, el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes)

Luego;

Que es lo mismo que:

De forma análoga se tiene queΔACB  ~  ΔADC (a la derecha) ,

entonces

Que es lo mismo que:

Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Por lo tanto,

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar a,

si c = 7 y q = 4

2) En la figura a la izquierda, determinar b

si c = 4 y p = 1

Teorema de Euclides relativo a la altura

“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”

Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales.

Sea hc  (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)

Entonces:

Reemplazando:

Llegamos a: 

A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.

Por lo tanto,  si   h² = p • q    

entonces             

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar h,

si p = 2 y q = 8

2) En la figura a la izquierda, determinar h,

si p = 3 y q = 12

La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo:

Problemas de áreas y perímetros en un circulo

Una circunferencia  es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos estan a igual distancia del centro.

Y así obtenemos  el área y el perímetro, sin embargo, ¿Como se puede calcular el diámetro y radio de un circulo, conociendo el aérea?

Para ello se hace lo siguiente:

 Despejando la formula que conocíamos para sacar el área quedando que r= raíz de área / pi.

También podemos encontrar polígonos inscritos en la circunferencia por ejemplo:

Y como se muestra en la imagen poder sacar el área sombreada.